Soluciones

Voy poniendo las soluciones a los dos primeros ejercicios. A lo largo del fin de semana terminaré los que faltan:

1.- Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:   r = 300t (1−t).

Donde t comprendido entre 0 y 1, es el tiempo en horas. Se pide:

a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

b. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

c. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? 

Resolución:

a. r(t)=300t-300t²; derivando r'(t)=300-600t; igualando a cero obtenemos el único punto singular t=1/2, es decir media hora. Si t<1/2 entonces r'(t)>0, lo que significa que r(t) es creciente; si t<1/2 entonces r'(t)<0 y por tanto r(t) es decreciente.

b. El rendimiento es nulo cuando r(t)=0, esto es t=0 o t=1, es decir al comienzo y al final del examen.

c. Vamos a estudiar el rendimiento en el punto singular t=1/2; así r''(t)=-600 y en particular r''(1/2)<0, luego en ese punto hay un máximo. Es decir el máximo rendimiento se obtiene a la media hora.

2.- Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

Solución: Si f pasa por el (0,0), entonces e=0. Que tenga un punto crítico en (1,3) significa que f'(1)=0 y además f(1)=3. Traducido en ecuaciones (sustituyendo), obtenemos:

f(1)=3 implica 3=a+b+c+d

y f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d y por tanto f'(1)=0 implica 4a+3b+2c+d=0.

Para que haya un punto de inflexión en x=0 tenemos que f''(0)=0; así f''(x)=12ax²+6bx+2c, de donde f''(0)=0 significa que 2c=0 y por tanto c=0.

Que la tangente a f en el punto x=0 sea y=2x significa que f'(0)=2, y como f'(0)=d, tenemos que d=2.

Finalmente recopilando las dos ecuaciones que teníamos y sustituyendo por d=2 y c=0, tenemos el sistema:

a+b+2=3

4a+3b+2=0

Esto es a+b=1

y 4a+3b=-2 de donde a=-5 y b=6