Notas examen viernes 19 de febrero de 2010

He aquí las notas del examen:

NOMBRE	Ex.19-2-2010
MAR	8
PBM	6,25
ICDM	7
SDBA	3
GDDC	1,25
ADFS	1,75
DDLCS	2
CDS	2
DFM	5
AGD	0,25
AGG	5
SGDLC	2
TGP	7,75
LHD	5,75
AMM	2,5
CMS	6,5
LMG	9,5
COB	4
MPH	10
SPL	6,5
APS	1,25
ESB	9,75
ASJP	6,25
MS	6,5
JJSDM	4,5
IZC	10

Ejercicios resueltos de funciones elementales

1.- La población de una granja avícola pasa de 1.000 a 1.300 individuos en un mes. Suponiendo que sigue una ley exponencial, calcular:

• La ley que expresa la población en función del tiempo.
• ¿Cuál será la población al cabo de un año?
• ¿Cuándo habrá 66.541 individuos?

 Resolución:

• Si el crecimiento de individuos sigue una función exponencial en función del tiempo, debe ser de la forma f(t)=a*b^t. Para que en tiempo t=0 valga 1.000, será a=1.000, luego tenemos f(t)=1.000*b^t. Si en t=1 debe valer 1.300, tendremos la ecuación 1.300=1.000*b^1, de donde deducimos que b=1'3. Luego la función será f(t)=1.000*1'3^t.
• Al cabo de 1 año=12 meses se tendrá: f(12)=1.000*1'3^12=23.298'08 individuos
• Para saber cuándo habrá 66.541 individuos habrá que resolver la ecuación 66.541=1.000*1'3^t, usando logaritmos la respuesta será t=log(66'541)/log(1'3)=16 meses.

2.- Las pérdidas o ganancias de una empresa siguen una ley: y=(2x-4)/(x+2), siendo x los años de vida de la empresa e y las pérdidas o ganancias en millones de euros.

Determina el año en que la empresa deja de tener pérdidas.

¿Pueden ser sus beneficios de 3 millones de euros en algún momento?. Justifica tu respuesta.No hace falta que dibujes la función.

 Resolución:

Dejan de tener pérdidas en el momento en que y sea igual a cero, esto es  (2x-4)/(x+2)=0, lo que significa x=2. 

Para que los beneficios fueran de 3 millones de euros, tendríamos que poder resolver la ecuación (2x-4)/(x+2)=3, esto es 2x-4=3x+6, y por tanto x= -10 lo que es imposible por ser x tiempo.

3.- Para la construcción de un muro de ladrillo se ha calculado que 2 albañiles pueden necesitar 50 jornadas de trabajo.

• ¿Cuántas jornadas necesitarían 4 albañiles?
•  ¿Y 6?, ¿y 10?. 
• Haz una tabla y una gráfica que relacionen el número de albañiles con el número de jornadas necesarias. 
• Encuentra la fórmula de la función que relaciona dichas variables y represéntala. 

Resolución:

• Claramente 4 albañiles necesitarian la mitad de jornadas de trabajo, esto es 25.
• Para calcular las jornadas de 6 y de 10 albañiles parece que podríamos hacer una regla de tres inversa, o mejor, calcular las jornadas que tardaría un sólo albañil; parece lógico que sean 100 jornadas (el doble que dos albañiles). Así 6 albañiles tardarían 100/6 jornadas y 10 albañiles tardarían 100/10 jornadas. 
• La tabla es evidente con el razonamiento anterior.
• La fórmula sería f(x)=100/x donde x es el número de albañiles.

4.- Calcula la función inversa de f(x)= 2^(2x-3).

 

Resolución: 

Buscamos una función y, tal que f(y)=x, esto es 2^(2y-3)=x. Tenemos que despejar y, así tomando logaritmos a los dos lados de la igualdad: log (2^(2y-3))=log x. Por las propiedades de los logaritmos se deduce que (2y-3)=log x/log 2. Finalmente despejamos y= ((log x/log 2)+3)/2. Esa es la función inversa de la dada.